수학교육 올립니다 수학의 기초와 기본 개념 등록 KF

수학교육 올립니다 수학의 기초와 기본 개념 등록
 

[목차]
 

1. 유클리드 이전의 수학

◎ 고대 그리스 수학과 연역적 과정의 도입

2. 유클리드 원론

◎ 유클리드의 정의, 공리, 공준
◎ 유클리드 기하의 논리적인 결함

3. 비유클리드 기하

◎ 비유클리드 기하학의 발견
◎ 비유클리드 기하학의 무모순성과 중요성

4. 힐베르트의 기초

◎ 힐베르트의 기하학의 기초
◎ 해석 기하학
◎ 사영 기하학과 쌍대성 원리

5. 대수적 구조

◎ 대수적 구조의 출현
◎ 대수학의 해방
◎ 군
◎ 대수학과 기하학에서 군의 중요성

6. 형식적 공리학

◎ 형식적 공리학의 양식
◎ 공준 집합의 성질

7. 실수 체계

◎ 실수 체계에 대한 공준적 접근
◎ 자연수와 수학적 귀납법
◎ 정수와 유리수
◎ 실수와 복소수

8. 집합

◎ 불 대수학
◎ 무한집합과 초한수
◎ 집합과 수학의 기본 개념

9. 논리학과 철학

◎ 기호 논리학
◎ 명제 계산
◎ 수학의 기초에서의 위기
◎ 수리



1. 유클리드 이전의 수학

경험주의 방법과 시행착오

귀납법: 항상 참인 어떤 현상에 대한 한정된 수의 경우에 근거해서 결론을 내리는 이런 형태의 추론을 귀납법이라 한다. 경험적인 결론은 종종 유추법이라 부르는 초보적인 형태의 귀납법을 사용해서 얻을 수 있다. 유추법은 확실히 쓸모가 있지만 분명히 이것의 결론은 증명으로 간주될 수 없다.
연역법: 일반적으로 인정된 명제들로부터 논리적으로 유도된 명제를 받아들일 수밖에 없게 만드는, 새로운 명제를 유도하는 방법이라 설명할 수 있다. 연역법에서는 결론의 진심됨에 관심을 두는 것이 아니라, 그 결론이 전제들로부터 유도되는지 아닌지에 관심을 두고 있다는 사실을 인식하는 것이 매우 중요하다.

◎ 고대 그리스 수학과 연역적 과정의 도입
기원전 600년부터 400년 사이의 그리스 사람들이 수학적인 지식을 증명하는 데 있어서 경험적인 방법을 버리고 모든 수학적인 결론은 반드시 연역법에 의해서만 증명되어야 한다고 결정한 이유에 대한 완전하고 적절한 설명을 찾기는 어렵다. 철학자들이 필요불가결한 도구로 찾은 것이 바로 연역법이었고, 그래서 그리스 사람들이 수학을 고려하기 시작했을 때 그들은 자연스럽게 이 방법을 선호하게 되었다.
그리스 사람들이 연역을 선호하게 된 이유에 대한 매우 초기의 그리스 수학에 관한 정보의 주요한 자료는 프로클로스의 소위 에우데무스 요약이다. 에우데무스 요약에 따르…(생략)
 

        
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